连续性方程在流匹配中的理解

连续性方程是偏微分方程 (PDE)，它提供了一个必要且充分的条件，以确保向量场 $v_t$ 生成概率路径 $pt$。 换句话说，它验证了给定的向量场是否确实生成了期望的概率密度演变。

连续性方程：

$$\frac{d}{dt} p_t(x) + div(p_t(x)v_t(x)) = 0$$

其中：

• $p_t(x)$ 是时间 $t$ 的概率密度函数。
• $v_t(x)$ 是时间 $t$ 的向量场。
• $div$ 是关于空间变量 $x = (x^1, ..., x^d)$ 的散度算子，即 $div = \sum_{i=1}^d \frac{\partial}{\partial x^i}$ 。

连续性方程在流匹配中的作用：

• 验证向量场： 连续性方程用于检验学习到的 CNF 模型的向量场 $v_t$ 是否确实生成了目标概率路径 $p_t(x)$。
• 证明定理： 在证明流匹配的相关定理时，连续性方程起着关键作用。例如，在定理 1 的证明中，通过验证边际概率路径 $p_t$ 和边际向量场 $u_t$ 满足连续性方程，可以证明 $u_t$ 确实生成了 $p_t$。

计算 CNF 模型的概率：

连续性方程与流动的轨迹方程 ($\frac{d}{dt} \phi_t(x) = v_t(\phi_t(x))$) 结合，可以推导出瞬时变量的变化，并最终得到计算 CNF 模型在任意数据点 $x_1$ 概率的方法。

总结:

连续性方程在流匹配中扮演着重要的角色，它不仅用于验证向量场，还在理论证明和概率计算中发挥着关键作用。