量子信道（Quantum Channels）是描述量子系统与环境相互作用方式的数学对象，它们对量子信息的传输和处理具有深远影响。

量子信道的描述

量子信道通常被定义为将输入量子态映射到输出量子态的线性完全正迹保持（completely positive and trace-preserving, CPTP）映射。它们捕获了量子信息在传输或存储过程中可能经历的所有变化，包括噪声和信息丢失。

有多种数学方式可以表示量子信道：

  • Kraus 算子表示 (Kraus Operators)：一个量子信道 N\mathcal{N} 可以用一组 Kraus 算子 {Kj}j=1r\{K_j\}_{j=1}^r 来描述，使得对于任何输入状态 XX，输出为 N(X)=∑j=1rKjXKj†\mathcal{N}(X) = \sum_{j=1}^r K_j X K_j^\dagger。所有 Kraus 算子必须满足 ∑j=1rKj†Kj=I\sum_{j=1}^r K_j^\dagger K_j = \mathbf{I} （其中 I\mathbf{I} 是恒等算子），以确保迹保持条件。
  • Stinespring 表示 (Stinespring Representation)：任何量子信道都可以通过将其输入系统与一个环境系统 EE 的初始状态相互作用，然后通过迹（丢弃环境系统）来表示。这可以表示为 NA→B(XA)=TrE[VXV†]\mathcal{N}_{A \to B}(X_A) = \text{Tr}_E[V X V^\dagger]，其中 VV 是一个等距算子（isometry），将输入系统 AA 映射到输出系统 BB 和环境系统 EE 的组合空间。这种表示突出了量子信道如何自然地源于系统与环境的幺正演化。
  • Choi 表示 (Choi Representation)：每个量子信道 NA→B\mathcal{N}_{A \to B} 都有一个独特的 Choi 算子 ΓNAB\Gamma_{\mathcal{N}}^{AB}，它是一个在 AA 和 BB 系统上的正半定算子。Choi 算子是理解和操作量子信道的有力工具，特别是用于组合信道：
    • 两个张量积信道 N1⊗N2\mathcal{N}_1 \otimes \mathcal{N}_2 的 Choi 算子是它们各自 Choi 算子的张量积：ΓN1⊗N2A1A2B1B2=ΓN1A1B1⊗ΓN2A2B2\Gamma_{\mathcal{N}_1 \otimes \mathcal{N}_2}^{A_1A_2B_1B_2} = \Gamma_{\mathcal{N}_1}^{A_1B_1} \otimes \Gamma_{\mathcal{N}_2}^{A_2B_2}。
    • 两个信道 M∘N\mathcal{M} \circ \mathcal{N} 组合的 Choi 算子可以通过对其中一个信道的 Choi 算子应用另一个信道来获得：ΓM∘NAC=MB→C(ΓNAB)\Gamma_{\mathcal{M} \circ \mathcal{N}}^{AC} = \mathcal{M}_{B \to C}(\Gamma_{\mathcal{N}}^{AB})。

量子信道的分类

量子信道可以根据它们的特性和对量子信息的影响进行分类：

  1. 互补信道 (Complementary Channel)：给定一个信道 NA→B\mathcal{N}_{A \to B} 及其 Stinespring 扩展 VA→BEV_{A \to BE}，互补信道 NA→Ec\mathcal{N}^c_{A \to E} 描述了信息流向环境系统 EE 的过程：NA→Ec(XA)=TrB[VXV†]\mathcal{N}^c_{A \to E}(X_A) = \text{Tr}_B[V X V^\dagger]。
  2. 可降解信道 (Degradable Channels) 和 反可降解信道 (Anti-Degradable Channels)：
    • 可降解信道：如果存在一个信道 DB→E\mathcal{D}_{B \to E}，使得 DB→E∘NA→B=NA→Ec\mathcal{D}_{B \to E} \circ \mathcal{N}_{A \to B} = \mathcal{N}^c_{A \to E}，则信道 N\mathcal{N} 是可降解的。这意味着接收方（Bob）可以通过对收到的信号应用一个额外的信道来模拟环境（Eve）接收到的信息。例如，幅度阻尼信道在特定参数范围内是可降解的。
    • 反可降解信道：如果存在一个信道 AE→B\mathcal{A}_{E \to B}，使得 AE→B∘NA→Ec=NA→B\mathcal{A}_{E \to B} \circ \mathcal{N}^c_{A \to E} = \mathcal{N}_{A \to B}，则信道 N\mathcal{N} 是反可降解的。这意味着环境（Eve）可以模拟接收方（Bob）接收到的信息。
  3. 替换信道 (Replacement Channels)：这类信道会忽略其输入并将其替换为某个固定状态 σB\sigma_B：RσBA→B(XA)=Tr[XA]σB\mathcal{R}_{\sigma_B}^{A \to B}(X_A) = \text{Tr}[X_A] \sigma_B。
  4. 迹信道和部分迹信道 (Trace and Partial-Trace Channels)：部分迹运算本身可以被视为一种量子信道，其 Kraus 算子形式为 Kj=1A⊗⟨j∣BK_j = \mathbf{1}_A \otimes \langle j|_B。
  5. 经典-量子信道 (Classical-Quantum Channels, CQ)：这类信道接受经典态（在特定正交基下对角的量子态）作为输入，并输出量子态。例如，Ncq(∣x⟩⟨x′∣)=δx,x′σxA\mathcal{N}_{\text{cq}}(|x\rangle\langle x'|) = \delta_{x,x'} \sigma_x^A。Alice 可以准备一个经典信息 xx 并将其编码为一个量子态 σxA\sigma_x^A 并发送给 Bob。经典通信协议中的编码信道就是经典-量子信道。
    • Choi 态：一个经典-量子信道的 Choi 态本身是一个经典-量子态。
  6. 量子-经典信道 (Quantum-Classical Channels, QC) / 测量信道 (Measurement Channels)：这类信道接受量子输入，并提供经典输出。例如，Bob 对收到的量子态进行测量，得到一个经典结果，这个测量过程可以用量子-经典信道描述。其作用为 Nqc(ρ)=∑x∈XTr[Mxρ]∣x⟩⟨x∣\mathcal{N}_{\text{qc}}(\rho) = \sum_{x \in \mathcal{X}} \text{Tr}[M_x \rho] |x\rangle\langle x|。经典通信协议中的解码信道就是量子-经典信道。
  7. 测量-准备信道 (Measure-and-Prepare Channels)：输出是测量输入后的结果和相应准备态的组合。所有纠缠破碎信道都属于此类型。
  8. 纠缠破碎信道 (Entanglement-Breaking Channels)：这些信道会将所有输入态转换为可分离态，从而破坏任何输入纠缠。它们的 Holevo 信息量具有可加性。
  9. Hadamard 信道 (Hadamard Channels)：这类信道可以被视为纠缠破碎信道的互补信道。它们的 Holevo 信息量也是可加的。
  10. 群协变信道 (Group-Covariant Channels)：如果存在幺正表示 {UgA}g∈G\{U_g^A\}_{g \in G} 和 {VgB}g∈G\{V_g^B\}_{g \in G}，使得 NA→B(UgAρAUgA†)=VgBNA→B(ρA)VgB†\mathcal{N}_{A \to B}(U_g^A \rho_A U_g^{A\dagger}) = V_g^B \mathcal{N}_{A \to B}(\rho_A) V_g^{B\dagger} 对所有 g∈Gg \in G 成立，则信道 N\mathcal{N} 是群协变的。
  11. 特定噪声信道 (Specific Noise Channels)：
    • 幅度阻尼信道 (Amplitude Damping Channel, Aγ\gamma)：模拟能量从量子系统流失到环境，其参数为 γ∈\gamma \in。它是广义幅度阻尼信道的一个特例。在 γ∈[0,1/2)\gamma \in [0, 1/2) 范围内是可降解的。
    • 广义幅度阻尼信道 (Generalized Amplitude Damping Channel, Aγ\gamma,N)：通过将环境的初始真空态替换为热态来概括幅度阻尼信道。
    • 擦除信道 (Erasure Channel, Ep_p)：以概率 pp 擦除输入态，并将其替换为一个正交的“擦除态” ∣e⟩⟨e∣|e\rangle\langle e|。以 1−p1-p 的概率保持原态。双轨编码（dual-rail encoding）下的纯损耗玻色信道对应于量子比特擦除信道。
    • 广义 Pauli 信道 (Generalized Pauli Channels)：通过以特定概率随机应用 Heisenberg–Weyl 算子来定义。它们的 Choi 态是 Bell 对角态。
    • 退相干信道 (Dephasing Channels)：广义 Pauli 信道的一个特例，只随机应用相位算子 Z(z)Z(z)。它们只影响输入态的非对角元素。
    • 退极化信道 (Depolarizing Channel, Dp_p)：以概率 pp 将量子态替换为最大混合态，以概率 1−p1-p 保持原态。它的 Choi 态是各向同性态，并且它对任何幺正算子都是协变的。

量子信道对量子信息的影响

量子信道作为信息传输的媒介，对其上的量子信息处理任务有着关键影响：

  1. 可区分性 (Distinguishability)：量子信道会降低量子态的可区分性。数据处理不等式（Data Processing Inequality）指出，量子相对熵（quantum relative entropy）在信道处理下不会增加，即 D(ρ∥σ)≥D(N(ρ)∥N(σ))D(\rho \Vert \sigma) \ge D(\mathcal{N}(\rho) \Vert \mathcal{N}(\sigma))。这意味着通过信道传输后，两个量子态之间的差异性（可区分性）通常会减小或保持不变。

    • 迹距离 (Trace Distance) 和 保真度 (Fidelity) 也是衡量量子态可区分性的标准，它们同样满足数据处理不等式，即信道处理不会增加迹距离或降低保真度。

  2. 通信容量 (Communication Capacities)：信道的特性直接决定了其承载信息的能力。

    • 经典通信容量 (Classical Capacity, C(N)C(\mathcal{N}))：衡量量子信道传输经典信息的能力。对于所有信道，经典容量等于正则化 Holevo 信息量（regularized Holevo information），Xreg(N)=lim⁡n→∞1nX(N⊗n)\mathcal{X}_{\text{reg}}(\mathcal{N}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \mathcal{X}(\mathcal{N}^{\otimes n})。Holevo 信息量 X(N)\mathcal{X}(\mathcal{N}) 本身表示信道传输经典信息的最大单次使用率。对于某些信道，例如纠缠破碎信道、Hadamard 信道和退极化信道，Holevo 信息量具有可加性，即 X(N1⊗N2)=X(N1)+X(N2)\mathcal{X}(\mathcal{N}_1 \otimes \mathcal{N}_2) = \mathcal{X}(\mathcal{N}_1) + \mathcal{X}(\mathcal{N}_2)。
    • 纠缠辅助经典通信容量 (Entanglement-Assisted Classical Capacity, CEA(N)C_{\text{EA}}(\mathcal{N}))：衡量在发送方和接收方之间预先共享纠缠态的情况下，量子信道传输经典信息的能力。它等于信道的互信息（mutual information），I(N)=sup⁡ψRAI(R;B)ωI(\mathcal{N}) = \sup_{\psi^{RA}} I(R;B)_\omega。
    • 量子容量 (Quantum Capacity, Q(N)Q(\mathcal{N}))：衡量量子信道可靠传输量子态（量子比特）的能力。它等于正则化相干信息（regularized coherent information），Icreg(N)=lim⁡n→∞1nIc(N⊗n)I_c^{\text{reg}}(\mathcal{N}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} I_c(\mathcal{N}^{\otimes n})。对于量子信道，量子容量通常比经典容量更难计算，因为它是否具有可加性仍是一个开放问题。

  3. 纠缠蒸馏 (Entanglement Distillation)：纠缠破碎信道对纠缠蒸馏是无用的，这意味着无法通过它们从混合态中提取纯纠缠态。Rains 相对熵是衡量纠缠蒸馏能力的强逆率上限。

简而言之，量子信道不仅定义了量子信息在传输中经历的变化，其数学特性和分类也直接揭示了它们在量子通信和量子计算中可以实现何种信息处理任务，并量化了这些任务的性能极限。