量子态和信道的可区分性、纠缠和信息量可以通过以下方法量化：

1. 量子态和信道的可区分性度量

可区分性度量用于衡量两个量子态或量子信道之间的相似或不同程度。

  • 量子态的可区分性：

    • 迹距离 (Trace Distance)：用于量化两个量子态之间的可区分性。
    • 忠实度 (Fidelity)：衡量两个量子态之间的接近程度。它可以通过半定规划 (Semi-Definite Program, SDP) 计算。根忠实度（Root Fidelity）是联合凹函数。忠实度满足数据处理不等式 (Data-Processing Inequality)，这意味着在量子信道作用下，态之间的忠实度不会降低。
    • 正弦距离 (Sine Distance)：是忠实度的一种变体。
    • 钻石距离 (Diamond Distance)：是另一种用于衡量量子态可区分性的度量。

  • 量子信道的可区分性：

    • 信道忠实度测量 (Fidelity Measures for Channels)：用于衡量量子信道之间的可区分性。

2. 量子态和信道的纠缠度量

纠缠度量用于量化量子系统之间非经典关联的强度。

  • 量子态的纠缠度量：

    • 纠缠相对熵 (Relative Entropy of Entanglement, 𝐸𝑅)：定义为给定态 ρAB\rho_{AB} 与所有可分离态 (separable states, SEP(A:BA:B)) 集合中态 σAB\sigma_{AB} 之间的量子相对熵的下确界，即 ER(A;B)ρ≜inf⁡σAB∈SEP(A:B)D(ρAB∥σAB)E_R(A; B)_{\rho} \triangleq \inf_{\sigma_{AB} \in \text{SEP}(A:B)} D(\rho_{AB} \| \sigma_{AB})。
    • ϵ\epsilon-假设检验纠缠相对熵 (ϵ\epsilon-Hypothesis Testing Relative Entropy of Entanglement, ERϵE^{\epsilon}_R)：定义为给定态与可分离态之间 ϵ\epsilon-假设检验相对熵的下确界。
    • 夹层Renyi纠缠相对熵 (Sandwiched Rényi Relative Entropy of Entanglement, EαE_{\alpha})：定义为给定态与可分离态之间夹层Renyi相对熵的下确界。
    • 广义Rains散度 (Generalized Rains Divergence)：这是一类衡量纠缠的度量，基于从集合 PPT’（包含可分离态的超集）中区分给定态的能力。
      • ϵ\epsilon-假设检验Rains相对熵 (RHϵR^{\epsilon}_H)：定义为给定态与 PPT’ 态之间 ϵ\epsilon-假设检验相对熵的下确界。
      • 夹层Renyi Rains相对熵 (RαR_{\alpha})：定义为给定态与 PPT’ 态之间夹层Renyi相对熵的下确界。对于 α∈[1/2,1)\alpha \in [1/2, 1) 它是凸函数，对于 α>1\alpha > 1 它是准凸函数。
      • 最大Rains信息量 (Max-Rains Information, RmaxR_{\text{max}})：是夹层Renyi Rains相对熵在 α→∞\alpha \to \infty 时的极限。它具有可加性。
    • 压缩纠缠 (Squashed Entanglement, EsqE_{\text{sq}})：定义为条件互信息的最小值 。它是一个凸函数，并满足 LOCC (Local Operations and Classical Communication) 单调性，即 LOCC 操作不会增加纠缠。它还具有可加性。

  • 量子信道的纠缠度量：
    量子信道的纠缠度量通常通过对输入纯态进行优化来定义，衡量信道输出态的纠缠程度。

    • 信道的纠缠相对熵 (ER(N)E_R(N))。
    • 信道的 ϵ\epsilon-假设检验纠缠相对熵 (ERϵ(N)E^{\epsilon}_R(N))。
    • 信道的广义Rains散度 (R(N)R(N))。
    • 信道的压缩纠缠 (Esq(N)E_{\text{sq}}(N))。它具有可加性。

3. 量子信息量度量

信息量度量用于量化量子态或信道包含的信息内容，以及它们如何相互关联。

  • 量子态的信息量度量：

    • 量子相对熵 (Quantum Relative Entropy, D(ρ∥σ)D(\rho\|\sigma))：定义为 D(ρ∥σ)≜Tr[ρ(log⁡2ρ−log⁡2σ)]D(\rho\|\sigma) \triangleq \text{Tr}[\rho(\log_2 \rho - \log_2 \sigma)] 如果 supp(ρ)⊆supp(σ)\text{supp}(\rho) \subseteq \text{supp}(\sigma)，否则为 +∞+\infty。它是一种可区分性度量，满足 D(ρ∥σ)≥0D(\rho\|\sigma) \ge 0 且当且仅当 ρ=σ\rho = \sigma 时 D(ρ∥σ)=0D(\rho\|\sigma) = 0。量子相对熵满足数据处理不等式，即在量子信道作用下其值不会增加。
    • Petz–Rényi 相对熵 (Dα(ρ∥σ)D_{\alpha}(\rho\|\sigma))：定义为 Dα(ρ∥σ)≜1α−1log⁡2Qα(ρ∥σ)D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \triangleq \frac{1}{\alpha - 1} \log_2 Q_{\alpha}(\rho\|\sigma)，其中 Qα(ρ∥σ)≜Tr[ρασ1−α]Q_{\alpha}(\rho\|\sigma) \triangleq \text{Tr}[\rho^{\alpha}\sigma^{1-\alpha}]。当 σ=1\sigma = \mathbf{1} 时，它简化为量子态的 Renyi 熵。当 α→1\alpha \to 1 时，它收敛于量子相对熵。它具有忠实性，即当且仅当 ρ=σ\rho = \sigma 时 Dα(ρ∥σ)=0D_{\alpha}(\rho\|\sigma) = 0。它满足 α∈[0,1)∪(1,2]\alpha \in [0, 1) \cup (1, 2] 范围内的量子数据处理不等式。
    • 夹层Renyi相对熵 (D~α(ρ∥σ)\tilde{D}_{\alpha}(\rho\|\sigma))：定义为 D~α(ρ∥σ)≜1α−1log⁡2Q~α(ρ∥σ)\tilde{D}_{\alpha}(\rho\|\sigma) \triangleq \frac{1}{\alpha - 1} \log_2 \tilde{Q}_{\alpha}(\rho\|\sigma)，其中 Q~α(ρ∥σ)≜Tr[(σ1−α2αρσ1−α2α)α]\tilde{Q}_{\alpha}(\rho\|\sigma) \triangleq \text{Tr}[(\sigma^{\frac{1-\alpha}{2\alpha}}\rho\sigma^{\frac{1-\alpha}{2\alpha}})^{\alpha}]。它在 α→1\alpha \to 1 时也收敛于量子相对熵。它对于 α∈[1/2,1)∪(1,∞)\alpha \in [1/2, 1) \cup (1, \infty) 具有忠实性。它满足 α∈[1/2,1)∪(1,∞)\alpha \in [1/2, 1) \cup (1, \infty) 范围内的量子数据处理不等式。通常，夹层Renyi相对熵不大于 Petz–Rényi 相对熵。
    • 几何Renyi相对熵 (Dα∘(ρ∥σ)D_{\alpha}^{\circ}(\rho\|\sigma))：定义为 Dα∘(ρ∥σ)≜1α−1log⁡2Qα∘(ρ∥σ)D_{\alpha}^{\circ}(\rho\|\sigma) \triangleq \frac{1}{\alpha - 1} \log_2 Q_{\alpha}^{\circ}(\rho\|\sigma)，其中 Qα∘(ρ∥σ)≜lim⁡ϵ→0+Tr[Gα(σϵ,ρ)]Q_{\alpha}^{\circ}(\rho\|\sigma) \triangleq \lim_{\epsilon \to 0^+} \text{Tr}[G_{\alpha}(\sigma_{\epsilon}, \rho)]。它在 α→1\alpha \to 1 时不收敛于量子相对熵，而是收敛于 Belavkin–Staszewski 相对熵。它满足 α∈(0,1)∪(1,2]\alpha \in (0, 1) \cup (1, 2] 范围内的量子数据处理不等式。
    • Belavkin–Staszewski 相对熵 (D∘(ρ∥σ)D^{\circ}(\rho\|\sigma))：定义为 Tr[ρlog⁡2(ρ1/2σ−1ρ1/2)]\text{Tr}[\rho \log_2(\rho^{1/2}\sigma^{-1}\rho^{1/2})] 如果 supp(ρ)⊆supp(σ)\text{supp}(\rho) \subseteq \text{supp}(\sigma)，否则为 +∞+\infty。它是几何Renyi相对熵在 α→1\alpha \to 1 时的极限。量子相对熵永远不大于 Belavkin–Staszewski 相对熵。
    • 最大相对熵 (Max-Relative Entropy, Dmax(ρ∥σ)D_{\text{max}}(\rho\|\sigma))：定义为 Dmax(ρ∥σ)≜inf⁡{λ:ρ≤2λσ}D_{\text{max}}(\rho\|\sigma) \triangleq \inf\{\lambda : \rho \le 2^{\lambda}\sigma\}。它满足数据处理不等式。它是夹层Renyi和几何Renyi相对熵在 α→∞\alpha \to \infty 时的极限。
    • 平滑最大相对熵 (Smooth Max-Relative Entropy, Dmaxϵ(ρ∥σ)D^{\epsilon}_{\text{max}}(\rho\|\sigma))：定义为 Dmaxϵ(ρ∥σ)≜inf⁡ρ~∈Bϵ(ρ)Dmax(ρ~∥σ)D^{\epsilon}_{\text{max}}(\rho\|\sigma) \triangleq \inf_{\tilde{\rho} \in B_{\epsilon}(\rho)} D_{\text{max}}(\tilde{\rho}\|\sigma)，其中 Bϵ(ρ)B_{\epsilon}(\rho) 是与 ρ\rho 在正弦距离上 ϵ\epsilon-接近的态集。它满足数据处理不等式。
    • 假设检验相对熵 (Hypothesis Testing Relative Entropy, DHϵ(ρ∥σ)D^{\epsilon}_H(\rho\|\sigma))：定义为 DHϵ(ρ∥σ)≜−log⁡2βϵ(ρ∥σ)D^{\epsilon}_H(\rho\|\sigma) \triangleq -\log_2 \beta_{\epsilon}(\rho\|\sigma)，其中 βϵ(ρ∥σ)≜inf⁡Λ{Tr[Λσ]:0≤Λ≤1,Tr[Λρ]≥1−ϵ}\beta_{\epsilon}(\rho\|\sigma) \triangleq \inf_{\Lambda} \{\text{Tr}[\Lambda\sigma] : 0 \le \Lambda \le \mathbf{1}, \text{Tr}[\Lambda\rho] \ge 1 - \epsilon\}。它与非对称假设检验中的最优第二类错误概率有关。除非 ϵ=0\epsilon=0，否则 DHϵ(ρ∥ρ)≠0D^{\epsilon}_H(\rho\|\rho) \ne 0。它满足数据处理不等式，并且当 ϵ→0\epsilon \to 0 时收敛到零阶 Petz–Rényi 相对熵。它与 Petz–Rényi 和夹层 Renyi 相对熵之间存在边界关系。

  • 量子信道的信息量度量：

    • 霍莱沃信息 (Holevo Information, χ(N)\chi(N))：定义为 χ(N)≜sup⁡ρXAI(X;B)NA→B(ρXA)\chi(N) \triangleq \sup_{\rho_{XA}} I(X; B)_{N_{A \to B}(\rho_{XA})}。它是量子信道的经典容量的下界，如果满足可加性，则等于经典容量。
    • ϵ\epsilon-假设检验互信息 (IHϵ(N)I^{\epsilon}_H(N))。
    • Petz–Rényi 互信息 (Iα(N)I_{\alpha}(N))。
    • 夹层Renyi互信息 (I~α(N)\tilde{I}_{\alpha}(N))：它对于 α∈(1,∞)\alpha \in (1, \infty) 具有可加性。
    • ϵ\epsilon-假设检验霍莱沃信息 (χHϵ(N)\chi^{\epsilon}_H(N))。
    • Petz–Rényi 霍莱沃信息 (χα(N)\chi_{\alpha}(N))。
    • 夹层Renyi霍莱沃信息 (χ~α(N)\tilde{\chi}_{\alpha}(N))：它具有超加性。对于纠缠破坏信道，它是可加的。
    • Υ\Upsilon-信息 (Υ(N)\Upsilon(N))：它给出了经典容量的强逆上限。对于不可约协变信道，它具有可加性。