选择:欢迎上船

第一个选择自然是从哪里开始，而我的选择是从简要介绍傅里叶级数开始。傅里叶提出的这种分析方法，最初关注的是利用后来被称为傅里叶级数的方法表示周期现象，后来又通过傅里叶变换（积分）将这些见解扩展到非周期现象。事实上，从傅里叶级数到傅里叶变换的一种方法是将非周期现象视为周期趋于无穷大的周期现象的极限情况。这就是我们在下一章中要做的事情。

周期信号的傅里叶级数与一组离散的频率相关。对于非周期信号的傅里叶变换，这些频率就变成了一组连续的频率。无论哪种情况，这组频率都构成了频谱，而频谱则蕴含了本课题最重要的原理。在此重申一下前言：

每个信号都有一个频谱，频谱决定了信号。

很吸引人，但我应该说，人们需要知道的是频率以及每个频率对信号的贡献有多大。

基于傅里叶级数和傅里叶变换的思想完全植根于物理应用。通常，要研究的现象是由物理学的基本微分方程（热方程、波动方程、拉普拉斯方程）建模的，解通常受到边界条件的约束。

最初的想法是利用傅里叶级数来寻找显式解。这项工作提出了一些深远而艰巨的问题，并引出了不同的方向。例如，傅里叶级数（正弦和余弦）的建立后来被重新定义为正交性、线性算子和特征函数的更一般框架。这引出了利用微分方程解的特征函数展开的普遍思路，这在许多领域和应用中都是一个普遍存在的研究方向。在偏微分方程的现代表述中，傅里叶变换已成为定义研究对象的基础，同时仍然是求解特定方程的工具。这一发展在很大程度上取决于傅里叶变换和卷积之间的显著关系，这在傅里叶级数的早期使用中也有所体现。为了使这些方法的应用越来越具有普遍性，数学家们（在某种程度上是受到工程师和物理学家的推动）开始重新思考“函数”概念的普遍性，以及哪些类型的函数可以——并且应该——被纳入微积分的“手术室”。微分和积分都被推广用于傅里叶分析。

其他方向则将傅里叶分析的工具与被分析对象的对称性相结合。这可能会让你联想到晶体和晶体学，没错，而数学家则会联想到数论和群的傅里叶分析。最后，我必须提到，在纯数学领域，无论你信不信，傅里叶级数的收敛性问题促使G. 康托尔在20世纪初研究并创立了无限集理论，并区分了无限集的不同基数。