克拉默斯-莫亚尔展开式

随着Masters方程的发展，我们现在可以解决非线性Langevin方程。回想一下，非线性朗之万方程没有闭式解，因此我们无法解析地写出解的概率分布。Masters方程允许我们通过称为Fokker-Planck方程的偏微分方程来写下概率分布的条件。福克-普朗克方程的推导需要一个称为克莱默斯·莫亚尔展开的数学结果。

定理 5.7 设ξ（t）为马尔可夫过程，设p（x，t）为ξ（t）在时间t取值x的概率分布。Kramers-Moyal展开式指出 \[\frac{\partial}{\partial t}p(x,t) = \sum_{m=1}^{\infty}[-\frac{\partial^m}{\partial x^m}D^{(m)}(x,t)p(x,t)],\]

其中，Kramers-Moyal展开式系数定义为 \[D^{(m)}(x,t) = \frac{1}{m!}{\text{lim}_{\Delta t\rightarrow 0}}[\frac{1}{\Delta t}E[(\xi(t + \Delta t) - x)^m]|\xi(t)=x].\]