δ努力工作
我们在一般理论方面投入了大量精力,现在是时候看看一些应用了。这些应用涵盖了从完成一些关于滤波器的研究,到光学、衍射,再到X射线晶体学。通过本章将要介绍的III函数(非常重要!),后者甚至会引导我们走向下一章的采样定理。所有这些例子的共同点是它们都使用了δ。本章篇幅短小,内容精挑细选,但主题都引人入胜,富有启发性。
我们需要的\(\delta\)的主要性质是卷积和乘法。回想一下,对于函数f,
\[(f\star\delta)(x) = f(x) \quad \text{and}\quad f(x)\delta(x) = f(0)\delta{x}.\]
在本章中,我们倾向于用变量来表示\(\delta\),并且我们也可以自由地对\(\delta\)进行积分,写成
\[(f\star\delta)(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y)\ dy = f(x).\]
对于偏移(shifted)\(\delta\),
\[f(x)\star\delta(x-a) = (f\star\delta)(x-a) = f(x-a), \]
\[f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a).\]
我们还将使用缩放(scaling)性质
\[\delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x),\]
当然,我们还需要傅里叶变换,
\[\mathcal{F}\delta(x-a) = e^{-2\pi isa}.\]