一切都加起来
从简单、单一正弦，我们通过求余弦和，可以构建更复杂的周期函数，但目前为止，仅考虑了有限和。为了突出基本思想，可以稍微标准化一下，并考虑周期1的函数。这简化了一些写作，如果周期不是1，则很容易修改公式。周期为 1 的基本函数是\(sin\ 2\pi t\)，因此我们上面简要考虑的傅里叶型和（Fourier-type sum）现在看起来像
\[\sum_{n=1}^N A_n\ sin(2\pi nt + \phi_n).\]
无论显示每个谐波的幅度和相位有什么心理优势，它都是一种计算起来有些尴尬的表达方式。更常见的是将一般三角和写成
\[\sum_{n=1}^N(a_n\ cos\ 2\pi nt + b_n\ sin\ 2\pi nt).\]
利用正弦函数的加法公式，你可以在两个表达式之间传递——它们是等价的。（就当做练习吧。）
如果我们包含一个常数项（n=0），可以写为 \[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N(a_n\ cos\ 2\pi nt + b_n\ sin\ 2\pi n t).\]
将常数项写成分数 1/2 的原因是，正如您将在下面看到的，它与此类和的另一个表达式更匹配。在电气工程中，常数通常被称为直流分量，如 “直流电 ”中的直流分量。其他术语是周期性的，交替出现，如 “交流电 ”或交流电。除直流分量外，谐波的周期分别为 1、1/2、1/3、……、1/N。由于各个谐波的频率都是最低频率的整数倍，因此总和的周期为 1。
使用复指数。如果我们使用复指数来表示正弦和余弦，那么关于这种三角和的代数工作会变得无比容易。如果你对复数感到生疏，请参阅附录B，其中讨论了复指数，以及如何毫无畏惧地使用它们来表示真实信号，并回答了负频率的含义。后者即将出现。
我提醒你
\[cos\ t = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}, \quad\quad sin\ t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}.\]
因此
\[cos\ 2\pi nt = \frac{e^{2\pi int}+ e^{-2\pi int}}{2}, \quad\quad sin\ 2\pi nt = \frac{e^{2\pi int}- e^{-2\pi int}}{2i}.\]
(顺便一提，这里和本书所有地方，\(i = \sqrt{-1}\)。不是j。见附录B中的原则声明。)使用这些重新写和
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}{N}(a_n\ cos\ 2\pi nt + b_n\ sin\ 2\pi nt).\]
得到 \begin{align} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}{N}(a_n\ cos\ 2\pi nt + b_n\ sin\ 2\pi nt) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N(a_n\frac{e^{2\pi int} + e^{-2\pi int}}{2} - ib_n\frac{e^{2\pi int} - e^{-2\pi int}}{2}) \quad\quad&(\text{在正弦项中使用 1/i = -i})\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N(\frac{1}{2}(a_n - ib_n)e^{2\pi int} + \frac{1}{2}(a_n + ib_n)e^{-2\pi int})\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n - ib_n)e^{2\pi int} + \sum_{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n + ib_n)e^{-2\pi int}. \end{align}
我们希望将其写成一个对正 n 和负 n 求和的和。为此，设
\[c_n = \frac{1}{2}(a_n - ib_n) \quad and\quad c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + ib_n),\quad n=1,\dots,N,\]
以及
\[c_0 = \frac{a_0}{2}.\]
保留第一个和，并将第二个和写为n从-1到-N，那么表达式变为
\[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}c_n e^{2\pi int} + \sum_{n=-1}^{-N}c_n e^{2\pi int}.\]
因此结合起来产生 \[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N(a_n\ cos\ 2\pi nt + b_n\ sin\ 2\pi nt) = \sum_{n=-N}{N}c_n e^{2\pi int}.\]
负频率是n的负值。现在你可以明白为什么我们把DC项写成\(a_0/2\)。
该和的最终形式中，系数\(c_n\)是复数。如果我们假设信号是实数——在先前的积分中不需要——那么它们关于 a 和 b 的定义就蕴含着以下关系 \[c_{-n} =\overline{c_n}.\]
特别是，对于n的任何值，\(c_n\)和\(c_{-n}\)的大小都是相等的 \[|c_n| = |c_{-n}|.\]
请注意，当n=0时，我们得到 \[c_0 = \overline{c_0},\]
这意味着\(c_0\)是实数；这与\(c_0\)等于实数 \(a_0\)/2 相一致。
实值信号的共轭对称性\(c_{-n} = \overline{c_n}\)很重要。如果我们从以下表达式开始 \[f(t) = \sum_{n=-N}^N c_ne^{2\pi int}\]
其中，\(c_n\)是复数，那么\(f(t)\)是实值信号，当且仅当系数满足\(c_{-n} = \overline{c_n}\)。如果\(f(t)\)是实数，那么
\[\sum_{n=-N}^N\ c_n e^{2\pi int} = \overline{\sum_{n=-N}^N\ c_n e^{2\pi int}} = \sum_{n=-N}^N\ \overline{c_n}{\overline{e^{2\pi int}}} = \sum_{n=-N}^N\ \overline{c_n}e^{-2\pi int},\]
将相似项等价，得到关系式\(c_{-n} = \overline{c_n}\)。相反，假设关系得到满足。对于n = 0，有 \(c_0 = \overline{c_0}\)，所以 \(c_0\)是实数。对于每个\(n\ne 0\)，我们可以将\(c_ne^{2\pi int}\)和\(c_{-n}e^{-2\pi int}\)分组，那么
\[c_n e^{2\pi int} + c_{-n}e^{-2\pi int} = c_n e^{2\pi int} + \overline{c_n}\overline{e^{2\pi int}} = 2\text{Re}(c_ne^{2\pi int}).\]
那么 \[\sum_{n=-N}^N\ c_n e^{2\pi int} = c_0 + \sum_{n=1}^N 2\ Re(c_n e^{2\pi int}) = c_0 + 2\ Re\Big\{\sum_{n=1}^N c_n e^{2\pi int}\Big\},\]
所以，复指数的和产生一个实值信号。
在 c 处迷失
假设你面对的是一个看起来很复杂的周期性信号。你可以把这个信号看成是随时间变化的，但同样，接下来的推理也适用于任何一种一维周期现象。无论如何，我们可以假设周期为 1。我们是否可以将该信号表示为周期为 1 的较简单周期信号之和？
称信号为\(f(t)\)。假设我们可以将\(f(t)\)写为一个和
\[f(t) = \sum_{n=-N}^N\ c_n e^{2\pi int}.\]
表达是中未知的是系数\(c_n\)。我们可以求解它们吗？
从什么角度解决？我们假设\(f(t)\)已知，所以想要关于\(f(t)\)系数表达式。让我们直接用代数来计算，尝试分离出固定k对应的系数 \(c_k\)。首先，从和式中取出第 k 项，得到 \[c_k e^{2\pi ikt} = f(t) - \sum_{n=-N, n\ne k}^N\ c_n e^{2\pi int}.\]
两边均乘以\(e^{-2\pi ikt}\)得到\(c_k\): \begin{align} c_k &= e^{-2\pi ikt}f(t) - e^{-2\pi ikt}\sum_{n=-N,n\ne k}\ c_ne^{2\pi int}\\ &= e^{-2\pi ikt}f(t) - \sum_{n=-N,n\ne k}\ c_n e^{-2\pi ikt}e^{2\pi int}\\ &= e^{-2\pi ikt}f(t) - \sum_{n=-N,n\ne k}\ c_n e^{2\pi i(n-k)t}. \end{align}
好吧，太棒了，我们已经设法根据所有其他未知系数来求解\(c_k\)。
代数就到此为止了，代数用完了，绝望的数学家就会转向微积分，即微分或积分。这里有一个提示：微分不会让你得到任何东西。
需要另一个主意，即两边从0到1积分；如果知道长度1的区间发生了什么，就知道了一切——这就是周期的作用。我们取间隔从0到1作为函数的基周期，但任意长度为1的间隔都可以，我们将会在下面解释（再次，周期如何工作）。得到
\begin{align} c_k &= \int_0^1\ c_k\ dt = \int_0^1\ e^{-2\pi ikt}f(t)\ dt - \int_0^1\Big(\sum_{n=-N,n\ne k}^N\ c_n e^{2\pi i(n-k)t}\Big)\ dt\\ &= \int_0^1\ e^{-2\pi ikt}f(t)\ dt - \sum_{n=-N,n\ne k}^N \ c_n \int_0^1\ e^{2\pi i (n-k)t}\ dt. \end{align}
就像在微积分中一样，我们可以通过以下公式来计算复指数的积分
\begin{align} \int_0^1\ e^{2\pi i (n-k)t}dt &= \frac{1}{2\pi i(n-k)}e^{2\pi i (n-k)t}\Big]_{t=0}^{t=1} \quad\quad\quad &(反导数，不定积分)\\ &= \frac{1}{2\pi i(n-k)}(e^{2\pi i (n-k)} - e^0)\\ &= \frac{1}{2\pi i(n-k)}(1-1) &(记住e^{2\pi i\cdot \text{整数}} = 1)\\ &= 0. \end{align}
关于\(e^{2\pi i\cdot \text{整数}} = 1\), 注：
等式：是欧拉公式和三角函数周期性的直接结果。
含义：复平面上旋转整数个完整圈后回到实轴起点。
求和中所有项均积分为0！我们已经找到关于第k个系数的公式： \[c_k = \int_0^1\ e^{-2\pi ikt}f(t)\ dt.\]