附录：柯西-施瓦茨不等式

非常著名和有用的不等式。必须介绍。柯西-施瓦茨不等式是两个向量的内积及其范数之间的关系。表述如下：

\[|(\underline{v},\underline{w}|) \le ||\underline{v}||\ ||\underline{w}||.\]

这是一个真正的苦力，你应该知道。你甚至会在书中分散的一些问题中看到它的作用。

对于几何向量来说，这一点很容易从内积的几何公式​​看出，

\[|(\underline{v},\underline{w})| = ||\underline{v}||\ ||\underline{w}||\ |\text{cos}\theta| \le ||\underline{v}||\ ||\underline{w}||, \]

因为\(|\text{cos}\theta| \le 1\)。实际上，内积的几何公式​​的原理来自柯西-施瓦茨不等式。

如何从几何向量内积的代数定义中推导出该不等式当然并不明显。用分量表示，不等式（对于实向量）表示

\[\big|\sum_{k=1}^n v_k w_k\big| \le \big(\sum_{k=1}^n v_k^2\big)^{1/2}\big(\sum_{k=1}^n w_k^2\big)^{1/2}. \]

坐下来，找个时间试试那个。

柯西-施瓦茨不等式的推导一般只使用前面列出的内积的四个代数性质。因此，同样的论证也适用于满足这些性质的任何积，例如 L2([0, 1]) 上的内积。这是一个非常优雅的论证（我相信是约翰·冯·诺依曼提出的），我想向你们展示一下。我们将在这里针对实数内积给出这个论证，并在后面对复杂情况进行评论。

任何不等式最终都可以写成某种形式，表明某个量为正，或者至少是非负的。我们已知的正数的例子包括实数的平方、某个物体的面积以及某个物体的长度。更微妙的不等式有时依赖于凸性，例如，一个质量系统的重心包含在质量的凸​​包内。这个关于不等式本质的小小即兴演绎，堪称宇宙的一个小秘密。